Bài toán tối ưu trong GSAT là gì?
Bài toán tối ưu là dạng bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (max) hoặc giá trị nhỏ nhất (min) của một đại lượng khi có một hoặc nhiều ràng buộc (điều kiện). Trong GSAT Samsung, dạng bài này xuất hiện 2–4 câu mỗi đề, thường ở phần toán logic mức độ khó.
Các dạng tối ưu thường gặp:
- Tìm GTNN/GTLN của biểu thức đại số
- Tối ưu chi phí vận chuyển/phân bổ nguồn lực
- Tối ưu lợi nhuận/doanh thu
- Bài toán cắt giảm chi phí
Dạng 1: Tìm GTNN/GTLN của biểu thức
Phương pháp bất đẳng thức AM-GM
Nguyên lý: Với a, b ≥ 0: (a + b)/2 ≥ √(ab). Dấu "=" xảy ra khi a = b.
Ứng dụng: Nếu tổng a + b = hằng số S, tích ab đạt max khi a = b = S/2.
Ví dụ 1: Cho x + y = 20, tìm giá trị lớn nhất của P = xy.
Giải: Theo AM-GM: xy ≤ ((x+y)/2)² = 10² = 100. Dấu "=" khi x = y = 10.
GTLN của P = 100, đạt được tại x = y = 10.
Ví dụ 2: Cho x > 0, tìm GTNN của f(x) = x + 16/x.
Giải: Áp dụng AM-GM: x + 16/x ≥ 2√(x × 16/x) = 2√16 = 8.
GTNN của f(x) = 8, đạt được tại x = 16/x → x² = 16 → x = 4.
Kiểm tra: f(4) = 4 + 16/4 = 4 + 4 = 8 ✓
Phương pháp hoàn thành bình phương
Dùng khi: Biểu thức bậc 2 ax² + bx + c.
Ví dụ 3: Tìm GTNN của f(x) = x² - 6x + 13.
Giải: f(x) = (x² - 6x + 9) + 4 = (x - 3)² + 4.
Vì (x - 3)² ≥ 0 với mọi x → f(x) ≥ 4.
GTNN = 4, đạt tại x = 3.
Ví dụ 4: Tìm GTLN của g(x) = -2x² + 8x - 5.
Giải: g(x) = -2(x² - 4x) - 5 = -2(x - 2)² + 8 - 5 = -2(x - 2)² + 3.
Vì -2(x - 2)² ≤ 0 → g(x) ≤ 3.
GTLN = 3, đạt tại x = 2.
Dạng 2: Tối ưu vận chuyển
Bài toán phân bổ hàng hoá
Ví dụ 5: Công ty có 2 kho A và B. Kho A chứa 80 tấn, kho B chứa 60 tấn. Cần giao cho 2 cửa hàng: C cần 70 tấn, D cần 70 tấn. Chi phí vận chuyển:
| TừĐến | C | D |
|---|---|---|
| A | 2 tr/tấn | 5 tr/tấn |
| B | 4 tr/tấn | 3 tr/tấn |
Tìm phương án vận chuyển có chi phí nhỏ nhất.
Lời giải:
Đặt x = số tấn vận chuyển từ A đến C (0 ≤ x ≤ 70).
- A→C: x tấn, chi phí 2x
- A→D: (80-x) tấn, chi phí 5(80-x)
- B→C: (70-x) tấn, chi phí 4(70-x)
- B→D: (x-10) tấn, chi phí 3(x-10) — [vì D cần 70, A đưa 80-x, B đưa 70-(80-x) = x-10]
Điều kiện: x-10 ≥ 0 → x ≥ 10; 70-x ≥ 0 → x ≤ 70.
Tổng chi phí = 2x + 5(80-x) + 4(70-x) + 3(x-10) = 2x + 400 - 5x + 280 - 4x + 3x - 30 = 650 - 4x
Hàm tuyến tính theo x, giảm khi x tăng → GTNN tại x = 70 (max trong [10,70]).
Chi phí nhỏ nhất = 650 - 4×70 = 650 - 280 = 370 triệu đồng.
Phương án: A→C: 70 tấn, A→D: 10 tấn, B→C: 0 tấn, B→D: 60 tấn.
Dạng 3: Tối ưu lợi nhuận/cắt giảm chi phí
Ví dụ 6: Công ty sản xuất x đơn vị sản phẩm A và y đơn vị sản phẩm B. Lợi nhuận: A = 3 triệu/đơn vị, B = 5 triệu/đơn vị. Ràng buộc:
- Tổng sản lượng ≤ 100: x + y ≤ 100
- Máy móc: 2x + y ≤ 160
- Nguyên liệu: x + 3y ≤ 240
- x, y ≥ 0 (số nguyên)
Tìm x, y để lợi nhuận L = 3x + 5y đạt GTLN.
Lời giải — Phương pháp điểm góc:
Tìm các đỉnh của vùng khả thi:
- (0, 0): L = 0
- (80, 0): kiểm tra 2(80)+0=160 ✓, 80+0≤240 ✓, 80+0=80≤100 ✓. L = 3(80)=240
- (60, 40): kiểm tra 60+40=100 ✓, 120+40=160 ✓, 60+120=180≤240 ✓. L = 180+200=380
- (20, 73): kiểm tra 20+73=93≤100 ✓, 40+73=113≤160 ✓. L ≈ 60+365=425? Cần kiểm tra giao điểm chính xác.
Giao x+y=100 và x+3y=240: trừ nhau: 2y=140 → y=70, x=30. L = 90+350 = 440.
Kiểm tra 2(30)+70=130≤160 ✓. GTLN L = 440 triệu tại (x=30, y=70).
Dạng 4: Bất đẳng thức trong bài toán thực tế
Nguyên lý cơ bản
| Bất đẳng thức | Công thức | Ứng dụng |
|---|---|---|
| AM-GM | (a+b)/2 ≥ √ab | Tổng cố định → max tích |
| Cauchy-Schwarz | (a²+b²)(c²+d²) ≥ (ac+bd)² | Tổng bình phương |
| Tổng đại số | ax² + bx + c ≥ 0 | Bình phương hoàn chỉnh |
| Tuyến tính | L = ax + b → min/max tại biên | Hàm tuyến tính trong miền |
Ví dụ 7 — Bài toán rào cản chi phí:
Một dự án cần x giờ thiết kế (chi phí 500.000đ/giờ) và y giờ lập trình (chi phí 800.000đ/giờ). Tổng giờ ít nhất 40 giờ. Chi phí tối thiểu = ?
Giải: C = 500x + 800y, với x + y ≥ 40, x ≥ 0, y ≥ 0.
Hàm tuyến tính → min tại biên. Khi y = 0: C = 500×40 = 20 triệu. Đây là min.
Chi phí tối thiểu = 20 triệu đồng khi thuê 40 giờ thiết kế, 0 giờ lập trình.
Câu hỏi thường gặp
GSAT có yêu cầu biết lập trình tuyến tính không?
Không. GSAT chỉ yêu cầu phương pháp điểm góc cơ bản và AM-GM. Không cần Simplex hay quy hoạch tuyến tính đầy đủ.
Làm sao nhận biết bài toán tối ưu trong 30 giây đầu?
Dấu hiệu: đề cho "ràng buộc" (ít nhất, nhiều nhất, không vượt quá) + "tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất". Nếu thấy bất đẳng thức hoặc "tối thiểu hóa chi phí" → đây là bài tối ưu.
Nếu không nhớ AM-GM có cách nào giải không?
Với bài dạng x + k/x: thử các giá trị x = 1, 2, 4, √k. Thường x = √k cho min. Tính nhanh và chọn đáp án nhỏ nhất trong 4 options.
Luyện tập bài tối ưu
Bài toán tối ưu là dạng câu phân loại ứng viên — đúng câu này thường đạt được điểm "khá" thay vì "trung bình". Luyện tập thêm tại Thithu.com — GSAT Samsung với hàng trăm câu tối ưu có lời giải chi tiết!