Tổng quan về bài toán đếm nâng cao trong GSAT
Sau khi nắm vững tổ hợp C(n,k) và chỉnh hợp P(n,k) cơ bản, thí sinh GSAT cần mở rộng sang các dạng nâng cao: hoán vị vòng, chỉnh hợp lặp và tổ hợp có lặp. Các dạng này xuất hiện trong những câu hỏi khó nhất của đề thi, thường nằm ở 1/3 cuối bài.
Bài viết này trình bày 3 công thức nâng cao cùng các bài toán ứng dụng điển hình, giúp bạn giải quyết mọi biến thể đếm trong GSAT.
1. Hoán vị vòng (Circular Permutation)
Khái niệm
Hoán vị vòng là sắp xếp n phần tử trên đường tròn, trong đó hai cách xếp chỉ khác nhau bởi phép quay được coi là giống nhau.
Công thức
Số hoán vị vòng: (n − 1)!
Giải thích: Trên đường tròn, cố định 1 phần tử → n−1 phần tử còn lại hoán vị bình thường.
Bài toán 1: Xếp ghế tròn
6 người ngồi quanh bàn tròn. Có bao nhiêu cách sắp xếp?
Lời giải:
- Hoán vị vòng: (6 − 1)! = 5! = 120
- Có 120 cách
So sánh: Nếu ngồi hàng ngang → 6! = 720 cách (gấp 6 lần).
Bài toán 2: Xếp vòng có điều kiện
5 người ngồi quanh bàn tròn, trong đó A và B phải ngồi cạnh nhau. Có bao nhiêu cách?
Lời giải:
- Ghép A-B thành 1 nhóm → 4 đối tượng ngồi vòng tròn: (4−1)! = 3! = 6
- A-B có thể đổi chỗ trong nhóm: 2!
- Tổng: 6 × 2 = 12 cách
2. Chỉnh hợp lặp (Permutation with Repetition)
Khái niệm
Chọn k phần tử từ n phần tử, có thứ tự và được chọn lại.
Công thức
Số chỉnh hợp lặp: n^k
Bài toán 3: Mã số
Tạo mã PIN 4 chữ số từ các chữ số 0-9. Có bao nhiêu mã PIN khác nhau?
Lời giải:
- n = 10 (chữ số 0-9), k = 4 vị trí
- Số mã PIN: 10^4 = 10.000 mã
Bài toán 4: Mã gồm chữ và số
Tạo mã 3 ký tự: 2 chữ cái (A-Z) + 1 chữ số (0-9), chữ cái được dùng lại. Có bao nhiêu mã?
Lời giải:
- Vị trí 1: 26 chữ cái
- Vị trí 2: 26 chữ cái (được lặp)
- Vị trí 3: 10 chữ số
- Tổng: 26 × 26 × 10 = 6.760 mã
3. Tổ hợp có lặp (Combination with Repetition)
Khái niệm
Chọn k phần tử từ n loại, không có thứ tự và được chọn lại (Stars and Bars).
Công thức
Số tổ hợp có lặp: C(n + k − 1, k)
Bài toán 5: Chia kẹo
Chia 8 viên kẹo giống nhau cho 3 bạn (mỗi bạn có thể nhận 0 viên). Có bao nhiêu cách chia?
Lời giải:
- n = 3 (loại/bạn), k = 8 (kẹo)
- C(3 + 8 − 1, 8) = C(10, 8) = C(10, 2) = 10 × 9 ÷ 2 = 45 cách
Bài toán 6: Mua trái cây
Cửa hàng có 4 loại trái cây. Mua 5 quả (mỗi loại được mua nhiều lần). Có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải:
- n = 4 (loại), k = 5 (quả)
- C(4 + 5 − 1, 5) = C(8, 5) = C(8, 3) = 8 × 7 × 6 ÷ (3 × 2 × 1) = 56 cách
Bảng tổng hợp so sánh
| Dạng | Công thức | Thứ tự | Lặp | Ví dụ |
|---|---|---|---|---|
| Hoán vị | n! | Có | Không | Xếp hàng |
| Hoán vị vòng | (n−1)! | Có (vòng) | Không | Ngồi bàn tròn |
| Chỉnh hợp | P(n,k) | Có | Không | Chọn đội trưởng, phó |
| Chỉnh hợp lặp | n^k | Có | Có | Mã PIN, mật khẩu |
| Tổ hợp | C(n,k) | Không | Không | Chọn nhóm |
| Tổ hợp lặp | C(n+k−1,k) | Không | Có | Chia kẹo, mua hàng |
Mẹo nhận dạng trong phòng thi
- Có thứ tự hay không? Mã số/mật khẩu → có thứ tự. Chọn nhóm/chia kẹo → không thứ tự.
- Được lặp hay không? "Mỗi chữ số dùng 1 lần" → không lặp. "Được dùng lại" → lặp.
- Ngồi vòng tròn? → Hoán vị vòng (n−1)!
- Chia vật giống nhau cho nhiều người? → Stars and Bars C(n+k−1,k)
Câu hỏi thường gặp
Khi nào dùng C(n,k) khi nào dùng n^k?
C(n,k) khi chọn mà KHÔNG quan tâm thứ tự và KHÔNG được lặp (ví dụ: chọn 3 người từ 10 người). n^k khi mỗi vị trí được chọn độc lập từ n phần tử (ví dụ: mã PIN 4 chữ số).
Bài toán chia kẹo có điều kiện "mỗi bạn ít nhất 1 viên" thì sao?
Cho trước mỗi bạn 1 viên → chia (k − n) viên còn lại cho n bạn không ràng buộc. Công thức: C(k−1, n−1).
GSAT có ra dạng Stars and Bars không?
Có, nhưng hiếm (1-2 câu/đề ở mức khó). Nếu gặp → áp dụng công thức C(n+k−1, k) là giải được ngay.
Luyện tập ngay
Tổ hợp nâng cao là "vũ khí bí mật" giúp bạn giải những câu khó nhất trong GSAT Samsung. Luyện tập ngay với đề thi thử GSAT Samsung tại Thithu.com — 3.000+ câu hỏi, chấm điểm tức thì!