Bài toán chu kỳ và mod trong GSAT
Bài toán chu kỳ (cyclical pattern) và phép chia lấy dư (mod) là dạng bài đặc trưng trong phần Toán logic GSAT Samsung. Đề thường hỏi chữ số hàng đơn vị của một luỹ thừa lớn, ngày thứ mấy sau N ngày, hoặc số dư của tích/tổng lớn. Điểm chung: tính toán trực tiếp là bất khả thi — phải tìm chu kỳ.
Kiến thức nền: Phép mod
Định nghĩa: a mod n = số dư khi chia a cho n.
Ví dụ:
- 17 mod 5 = 2 (vì 17 = 3×5 + 2)
- 100 mod 7 = 2 (vì 100 = 14×7 + 2)
- 36 mod 4 = 0 (vì 36 = 9×4 + 0)
Tính chất hữu ích:
- (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
- (a × b) mod n = ((a mod n) × (b mod n)) mod n
Dạng 1: Chữ số hàng đơn vị của luỹ thừa
Chữ số hàng đơn vị của aⁿ chính là (aⁿ mod 10).
Chu kỳ chữ số tận cùng
| Cơ số | Chu kỳ chữ số hàng đơn vị |
|---|---|
| 2 | 2, 4, 8, 6 (chu kỳ 4) |
| 3 | 3, 9, 7, 1 (chu kỳ 4) |
| 4 | 4, 6 (chu kỳ 2) |
| 5 | luôn là 5 |
| 6 | luôn là 6 |
| 7 | 7, 9, 3, 1 (chu kỳ 4) |
| 8 | 8, 4, 2, 6 (chu kỳ 4) |
| 9 | 9, 1 (chu kỳ 2) |
| 0, 1 | luôn là 0, 1 |
Ví dụ 1: Chữ số hàng đơn vị của 3¹⁰⁰
- Chu kỳ 3: 3¹=3, 3²=9, 3³=27→7, 3⁴=81→1, 3⁵=243→3 (lặp lại)
- Chu kỳ = 4. Tìm 100 mod 4 = 0 → tương ứng vị trí thứ 4 trong chu kỳ → 1
- Chữ số hàng đơn vị của 3¹⁰⁰ = 1
Ví dụ 2: Chữ số hàng đơn vị của 7⁵³
- Chu kỳ 7: 7, 9, 3, 1 (chu kỳ 4)
- 53 mod 4 = 1 → vị trí thứ 1 → 7
Ví dụ 3: Chữ số hàng đơn vị của 2²⁰²⁶
- Chu kỳ 2: 2, 4, 8, 6 (chu kỳ 4)
- 2026 mod 4 = 2 → vị trí thứ 2 → 4
Quy trình chuẩn: (1) Xác định chu kỳ. (2) Tính số mũ mod chu kỳ. (3) Tra bảng.
Dạng 2: Ngày trong tuần sau N ngày
Công thức: Ngày kết quả = (ngày hiện tại + N) mod 7
Quy ước: Thứ 2 = 1, Thứ 3 = 2, ..., Thứ 7 = 6, Chủ nhật = 0 (hoặc 7).
Ví dụ 4: Hôm nay thứ Tư, sau 100 ngày là thứ mấy?
- Thứ Tư = 3 (tính từ 1 = Thứ Hai)
- (3 + 100) mod 7 = 103 mod 7 = 5 (vì 103 = 14×7 + 5)
- Vị trí 5 = Thứ Sáu → Thứ Sáu
Ví dụ 5: Ngày 1/1 là thứ Hai, ngày 3/3 cùng năm là thứ mấy?
- Số ngày từ 1/1 đến 3/3 (không nhuận): tháng 1 còn 30 ngày + tháng 2 = 28 ngày + 3/3 - 1 = 2 ngày = 60 ngày
- (1 + 60) mod 7 = 61 mod 7 = 5 → Thứ Sáu → Thứ Sáu
Dạng 3: Số dư của tổng hoặc tích lớn
Ví dụ 6: Số dư của (1! + 2! + 3! + ... + 100!) khi chia cho 5
- 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24
- 5! = 120 → 5! mod 5 = 0 → tất cả n! với n≥5 đều có mod 5 = 0
- Tổng mod 5 = (1 + 2 + 6 + 24) mod 5 = 33 mod 5 = 3
Ví dụ 7: Số dư của 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰ khi chia cho 3
- 2 mod 3 = 2; 4 mod 3 = 1; 8 mod 3 = 2; 16 mod 3 = 1 → chu kỳ (2, 1)
- 20 số hạng → 10 cặp (2+1) = 10 cặp, mỗi cặp mod 3 = 0
- Số dư = 0
Bảng tóm tắt
| Dạng | Phương pháp | Ví dụ điển hình |
|---|---|---|
| Chữ số tận luỹ thừa | Chu kỳ 2 hoặc 4, mod số mũ | 3¹⁰⁰, 7⁵³ |
| Ngày trong tuần | Cộng N ngày mod 7 | Sau 100 ngày là thứ mấy? |
| Số dư tổng lớn | Tính mod từng số hạng + cộng | 1!+2!+...+100! mod 5 |
Câu hỏi thường gặp
Làm sao nhớ chu kỳ chữ số hàng đơn vị nhanh?
Chỉ cần nhớ: cơ số 2, 3, 7, 8 có chu kỳ 4; cơ số 4, 9 có chu kỳ 2; cơ số 5, 6, 0, 1 không có chu kỳ (luôn cố định). Trong phòng thi, thử nhân vài lần đầu là ra ngay chu kỳ.
Số mũ mod chu kỳ = 0 thì chọn vị trí nào?
Khi số mũ mod chu kỳ = 0, chọn vị trí cuối cùng của chu kỳ. Ví dụ chu kỳ 4 thì chọn phần tử thứ 4 (không phải thứ 0).
Bài toán ngày có hay bẫy điểm gì không?
Hay gặp nhất là bẫy năm nhuận (tháng 2 có 29 ngày). Đề thường cho sẵn thông tin là năm nhuận hay không, hoặc chỉ hỏi trong phạm vi không vượt tháng 2.
Luyện tập ngay
Bài toán chu kỳ và mod là dạng bài "tốc độ cao" — ai nắm được quy luật sẽ giải xong trong 20-30 giây. Luyện tập ngay với đề thi thử GSAT Samsung tại Thithu.com — 3.000+ câu hỏi, chấm điểm tức thì!